No hace mucho le comentaba a mi familia algo curioso.

En algunos concursos, al final al ganador le presentaban tres puertas (o tres cortinas o cualquier variación) y detrás de una de ellas estaba el premio gordo. En las demás podía haber premios secundarios o simplemente nada. Como el objetivo es el premio gordo, vamos a considerar que una tiene “el premio” y las otras dos no tienen nada.

El concursante finalista escogía una puerta. Entonces el presentador descartaba una de las otras dos puertas ,es decir, de las dos puertas que quedan sin escoger al menos una está sin el premio, puede que las dos, así que el presentador eliminaba una, con lo que quedan dos puertas, una con premio y la otra sin premio y nos da la opción de cambiar nuestra elección inicial.

¿Qué haríais ante tal situación? ¿Cambiaríais de puerta? ¿Por qué? ¿Pensais que tienen un 50% de probabilidades cada una de tener el premio, verdad?

Aunque nuestra intuición nos dice que ambas tienen las mismas probabilidades, pues de presentarse desde un principio solo dos puertas así sería, el caso es que no, las probabilidades no son las mismas.

Os repito los pasos del juego uno por uno:

- Hay tres puertas, una con premio y las otras dos vacías.
- Escoges una puerta.
- El presentador elimina una de las puertas falsas (nunca la que tu ya has escogido).
- Quedan dos puertas, la que habías elegido y otra, una con premio y la otra sin premio.
- Decides si cambias tu opción inicial o la mantienes.

Llegados a este punto, le comentaba a mi familia que de mantener la puerta escogida, había un 33% de acertar mientras que de cambiar a la otra puerta, hay un 66% de probabilidades de acierto.

“Que no puede ser!”, suele decir la gente, porque… (y aquí es cuando te explican que si hay dos puertas, una con premio y la otra no, hay un 50% para cada puerta).

El tema es que no hay dos puertas, hay tres puertas, solo que tu ya sabes qué hay detras de una de ellas.

Volviendo al caso inicial, donde había tres puertas cerradas, cada puerta tenía un 33% de probabilidad. Si las separamos en dos “bloques”, el primer bloque es la puerta que has escogido y el segundo bloque está formado por las puertas que no has escogido.

Puesto que cada puerta tiene un 33% de probabilidad de contener el premio, el primer bloque, formado por una puerta, tiene un 33% mientras que el segundo, formado por dos puertas, tiene un 66%.

Es decir, una vez hemos escogido una puerta, si cambiarámos de puerta estaríamos cambiando a una puerta del bloque con 66% de probabilidades. El problema es que al haber dos puertas en ese bloque, la puerta que escogieras seguiría con un 33%. Pero en el momento que el presentador elimina una puerta, la otra se queda con el 66%.

Y esta explicación no sirvió de mucho. Mi familia se fue pensando que no, que al final cuando hay dos puertas, cada una se lleva un 50%.

Así que un sábado por la tarde decidí demostrarlo. Si la explicación teórica no convence, ¡juguemos al juego de las tres puertas!

Como nadie tenía ganas de jugar cien veces (yo tampoco), hice un programa que simulaba el juego en si:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
 
int main(){
    int a,b,c,v[3],puerta,i,iteraciones,mantener,select,aciertos=0;
    clock_t t1,t2;    
 
    struct timeval tv;
    time_t seed;
 
    gettimeofday(&tv, NULL); 
    seed = tv.tv_usec*tv.tv_sec;
    srand(seed); //Creamos una semilla para numeros aleatorios con time * microtime.
    
    v[0] = v[1] = v[2] = 0;
    
    printf("Iteraciones: ");
    scanf("%d",&iteraciones);
    printf("Mantener: ");
    scanf("%d",&mantener);
    
    if(mantener != 0 && mantener != 1){
        printf("Mantener solo puede valer 0 o 1\n");
        return 0;
    }
        
    for(i=a=b=c=0;i<iteraciones;i++){
        puerta = rand()%3;
        select = rand()%3;
        
        if(mantener == 1){
            if(select == 0){
                if(puerta != 1) select = 2;
                else select = 1;
            }
            else if(select == 1){
                if(puerta != 0) select = 2;
                else select = 0;
            }
            else {
                if(puerta !=0) select = 1;
                else select = 0;
            }
        }
        
        if(select == puerta) aciertos++;
        
        if(puerta == 0){
            a = 1;
            v[0]++;
        }
        else if(puerta == 1){
            b = 1;
            v[1]++;
        }
        else {
            c = 1;
            v[2]++;
        }        
    }
    
    printf("Puerta A: %d\nPuerta B: %d\nPuerta C: %d\n",v[0]*100/iteraciones,v[1]*100/iteraciones,v[2]*100/iteraciones);
    printf("Aciertos: %d\n",aciertos*100/iteraciones);
    
    return 0;
}

Este programa pide el número de veces que debe repetir el juego y si en esas iteraciones cambiará o mantendrá la opción inicial.

Luego en cada “partida” escoge aleatoriamente una puerta, que es la que tendrá el premio y escoge aleatoriamente una puerta, que es la que escogería el concursante.

A continuación el programa elimina de las dos puertas no escogidas, una falsa. Luego, si la opción de mantener era un “0″, la puerta final escogida se mantiene, mientras que si era un “1″, la puerta escogida cambia a la otra puerta que queda.

Finalmente, muestra por pantalla el porcentaje de veces que ha salido cada puerta y debajo el porcentaje de aciertos que se han obtenido.

Para 100 iteraciones los resultados no son exactamente 33% por puerta ni 33% o 66% de aciertos (según la opción de mantener o no la puerta inicial, respectivamente) pero con 10000 iteraciones o más ya salen valores prácticamente exactos (no se muestran los decimales).

Tras hacer el programa, volví a explicar el motivo de los resultados, pues el programa confirmó que, manteniendo la puerta inicial, se acertaba un tercio de las veces mientras que cambiando de puerta, se acertaba dos tercios, pero esta vez la explicación cambió un poco.

Dadas las tres puertas, escogemos siempre la primera. Teoríacamente, tras 100 veces, la primera, la que hemos escogido siempre, habrá salido 33 veces, mientras que las otras dos, las que nunca escogemos, habrán salido 66 veces (realmente son 66,666… veces, con lo que serían 67).

Por tanto, sabiendo que esas 100 veces, el conjunto de las puertas dos y tres han salido 66 veces, si el presentador nos dice de esas dos columnas cual es la falsa, en caso de cambiar de puerta, las 33 veces que ha salido la primera columna habríamos fallado sí o sí, pero las otras 66 veces habríamos acertado puesto que de las 66 veces que ha salido la columna dos o tres, siempre hemos escogido la correcta ya que el presentador eliminaba la otra.

Y recordad que esto solo es estadística y si alguna vez os encontrais ante tal dilema, si bien la opción más lógica sabiendo esto sería cambiar de puerta, puede que no acerteis y pertenezcais al grupo del 33% de gente que cambiando de puerta, no acierta